아무튼 로렌츠 변환이 더 보편적이고 정확하니 이 변환에 의해서 길이를 구해 봅시다. 기차 S'에 막대가 있다고 하고, 그 길이를 S'과 지면 S에 있는 두 관측자가 각각 재어보고 서로 비교해 보지요. 막대 양끝의 위치를 S'에 있는 관측자 O'은 자신의 좌표로
일반적으로 막대 양끝 좌표의 차이는 바로 막대의 길이에 해당할 것입니다. 단지 움직이는 막대의 길이를 제대로 재려면 양끝의 좌표를 동시에 읽어야 한다는 조건이 필요하지요. 여기서 막대는 S'에 놓여 있으므로 관측자 O'에 대해 정지해 있습니다. 따라서 동시에 읽어야 한다는 조건은 생각할 필요가 없고, 식의 왼쪽,
한편 S에 있는 관측자 O는 막대의 길이를 어떻게 잴까요? 막대는 기차에 있으므로 움직이니까 O는 막대 양끝의 좌표를 자신이 볼 때 동시에 읽어야 합니다. 왼쪽 끝과 오른쪽 끝 좌표를 읽는 사건의 시간과 공간은 각각
결론은 정지해 있을 때의 본래길이
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가 되는데, 이는 바로 앞서 언급한 로렌츠 짧아짐이네요. 결국 물체가 움직이면 정지해 있을 때보다 길이가 줄어든다는 사실을 의심의 여지없이 보였습니다. 길이가 줄어든다는 결과에 대해서 이제 불만 없나요?
학생:변환 식
이것을 넣지 않으면
갈릴레이나 뉴턴 시절에는 시간과 공간은 별개의 것으로 아무런 상관없이 각자 존재한다고 생각했습니다. 공간에서도 절대공간의 개념을 믿었지만, 시간도 절대성이 있어서 누구에게나 공평하게 흘러간다고 생각했지요. 여러분에게나 나한테나 북극성에서도 안드로메다은하에서도, 모든 기준틀에서 시간은 똑같다고 믿었습니다.
그러나 아인슈타인은 이러한 절대시간의 개념을 인정하지 않았습니다. 서로 다른 기준틀에서는 공간의 좌표가 다르듯이 시간도 다를 수 있다는 것입니다. 갈릴레이 변환과 달리 로렌츠 변환에서는 시간이 공간과 무관하게 절대적인 것이 아니고 서로 얽혀있음을 보여줍니다. 예컨대 공간의 변화가 시간의 변화를 가져올 수도 있는 거지요.
확인을 위해서 로렌츠 변환을 뒤집어볼 수도 있습니다. S'에서의 좌표를 S에서의 좌표로 나타내는 식을 뒤집어서 S의 좌표를 S'의 좌표로 나타내자는 거지요. 변환을 주는 식이 선형, 곧 1차식이므로 쉽게 풀 수 있습니다. 결과가 어떻게 될까요? 다음과 같이 됩니다.
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이를 거꿀 로렌츠 변환(inverse Lorentz transformation)이라 부르는데 원래 변환과 비교하면 속도만 v에서 -v로 부호가 바뀌었음을 알 수 있습니다. 이렇게 나와야 마땅합니다. 지면에서 기차를 볼 때 속도가 v이므로 기차에서 지면을 보면 -v속도가 이기 때문입니다. 로렌츠 변환을 얼른 보면 (x,t)와 (x',t')이 동등하지 않은 것처럼 보이지만 거꾸로 뒤집어도 똑같기 때문에 사실은 동등합니다. 그야말로 두 기준틀 S와 S', 그리고 두 관측자 O와 O'은 완전히 동등한 것입니다.
로렌츠 변환에 대해 더 질문 없어요?
학생: 로렌츠 변환은 일차식으로만 해야 하는가요?
왜 하필이면 1차식이냐? 글쎄요, 시간과 공간에 대해 비선형으로 제곱 항이나 세제곱 항을 생각할 수도 있겠죠. 하지만 그렇게 되면 풀 수 없을 겁니다. 변환 식에서 항이 많아지므로 그 곁수(coefficient)가 주어진 조건 보다 더 많기 때문에 결정할 수 없습니다. 선형을 전제한 근거는 있습니다. 갈릴레이 변환이 일상세계에서는 잘 맞는다는 것을 알고 있고, 따라서 어떠한 변환 식을 쓰더라도 일상의 경우에는 필연적으로 갈릴레이 변환으로 환원돼야 합니다. 이러한 전제 조건을 생각하면 비선형 항이 있기 어렵겠지요.
단위의 결정
이제 모두 알겠어요? 다른 질문 없나요?
학생: 복잡한 계산할 필요 없이 동시에 시계를 보고 재면 되지 않나요?
시계를 믿을 수 있어요? 시간을 정확히 재야하는데 아무리 좋은 시계도 조금은 틀릴 수 있습니다. 중요한 문제는 설령 아주 정확한 시계라 하더라도 서로 다른 기준틀의 관측자에게는 반드시 똑같이 간다고 보장할 수 없다는 점입니다. 결국 기준은 빛을 가지고 정할 수밖에 없습니다. 물론 빛의 빠르기가 언제나 일정하다고 믿는다면.
실제로 1 미터라는 길이를 어떻게 정했을까요?
이러한 단위들, 이른바 도량형을 잘 정비하는 것은 통일된 국가를 건설하고 강력하게 통치하는데 정책적으로 중요합니다. 중국에서는 최초의 통일국가를 건설한 진나라의 시황제가 도량형을 정비했다고 알려져 있지요. 이른바 미터법은 18세기 말에 프랑스에서 시작했다고 할 수 있는데, 나폴레옹(Napoleon Bonaparte)이 많이 추진했다고 합니다. 그 때에는 지구의 북극에서 적도까지 거리의 1천만 분의 1 또는 조금 더 정확하게 지구 적도 길이의 4천 4백만 분의 1이라는 식으로 길이 1 미터를 정했습니다.
그런데 지구 둘레가 정확히 얼마인지 어떻게 알아요? 오차가 얼마나 크겠습니까? 그래서 원기를 하나 만들고 그게 1 미터라고 정한 것입니다. 그 원기라는 막대기가 백금과 이리듐으로 만든 합금이라서 잘 변하지 않는다고 하지만 아무래도 조금씩은 변합니다. 겨울에 줄어들고 여름에 늘어나기 때문에 겨울과 여름의 1 미터가 달라집니다. 물론 그래서 이른바 표준조건, 온도 0 °C와 1 기압에서의 길이로 정했지만 아무래도 정밀도가 그리 클 수는 없지요.
지금은 기준을 더 잘 정할 수 있습니다. 빛을 가지고 정하기 때문입니다. 진공에서 빛의 빠르기는 언제나 같으므로 좋은 기준이 될 수 있지요. 그런데 우리가 처음에 1 m를 잘못 정했기 때문에 진공에서 빛의 빠르기는 2.99792458×108 m/s로 정해져 있습니다. 정확하게 말하면 1 m란 빛이 299,792,458분의 1 초 동안 가는 거리로 정의합니다.
또한 원자가 내는 특정한 빛의 파길이(파장; wavelength)는 역시 일정하므로 이를 이용하는 것도 생각해볼 수 있습니다. 이러한 예로 전에는 나트륨 원자가 내는 특징적인 노란 빛을 많이 생각했는데 요새는 레이저(laser)가 훨씬 정밀한 파길이의 빛을 내므로 더 좋은 기준이 되지요.
학생: 그럼 초를 정해야 하지 않나요?
물론 시간의 단위로 초도 정해야 합니다. 1 초를 어떤 기준으로 정할까요? 전에는 하루나 한 해로부터, 곧 지구의 자전이나 공전으로부터 1 초를 정했습니다. 그러나 지구 둘레의 길이나 마찬가지로 지구의 운동도 아주 정밀하게 잴 수도 없지만 언제나 일정하지 않고 조금씩 변화합니다. 따라서 이로부터 제대로 된 정의를 얻을 수 없지요.
현재 공식적인 정의는 좀 어려운데 참고로 말해 보겠습니다. 원자에서 원자핵과 전자 사이에 스핀 등에 의한 자기적(magnetic) 상호작용 때문에 이른바 초미세구조(hyperfine structure)라 불리는 내부 상태들이 존재하는데 그들 사이를 왔다 갔다 하는 전이(transition) 주기가 매우 일정하다는 성질을 이용합니다. 구체적으로는 질량수 133인 세슘(133Cs)원자가 에너지가 가장 낮은 바닥상태(ground state)에서 초미세구조 사이의 전이 주기의 9,192,631,770 배를 1 초로 정의하지요.
빛을 포함하여 파동에서 진동수와 파길이를 곱하면 파동이 전파하는 속도가 됩니다. 빛의 경우에는 빠르기가 언제나 일정하므로 진동수와 파길이는 반비례하고, 파길이가 주어지면 진동수는 자동으로 결정이 됩니다. 따라서 길이를 빛의 파길이를 가지고 정하면 그 빛의 진동수로부터 시간을 정할 수도 있습니다.
이러한 단위에 대해 논의하는 국제회의가 20세기에 들어와서 여러 차례 열렸고, 미터법을 바탕으로 해서 국제단위체계(Le Système International d'Unités)를 만들었습니다. 프랑스 원어에서 약자를 따서 SI 단위체계라고 부릅니다. 공식적으로 현재 국제단위체계에는 다음의 일곱 가지가 기본단위로 정해져 있습니다. 길이의 단위로 미터(m), 질량은 킬로그램(kg), 시간은 초(s), 전류는 암페어(A), 온도로는 캘빈(kelvin; K), 물질의 양은 구성원의 수를 나타내는 몰(mole; mol), 그리고 빛샘(광원)의 밝기를 나타내는 광도는 칸델라(candela; cd)입니다. 이들의 자세한 정의는 여기서 논의하지 않겠습니다.
학생: 물속에서도 빛의 속도가 일정한가요?
물에 들어가면 빠르기가 달라집니다. 빛이 물로 들어갈 때 느려지기 때문에 진로가 꺾이는 것입니다. 한자어로는 굴절(refraction)이라 하지요. 체육 시간에 여러 학생들이 줄맞춰서 똑바로 뛰다가 비스듬히 모래밭을 만났다고 합시다. 그러면 일부 학생들은 다른 학생들보다 모래밭에 먼저 들어가게 되겠고, 잘 뛰기 어려우니 속도가 느려질 겁니다. 아직 들어가지 않은 학생들은 계속 빨리 뛸 터이니 결국 진로가 꺾이게 되지요. 빛의 빠르기가 일정하다는 것은 진공에서 진행할 때 이야기입니다.
그럼 다른 질문이 또 나올 수 있겠네요. 물은 H2O 분자들로 이뤄져 있고 분자는 수소와 산소 원자로 이뤄져 있고 각 원자는 원자핵과 전자로 이뤄져 있지요. 그런데 원자핵을 크기로 탁구공이라 생각하면 원자의 크기는 서울대학교 정도가 됩니다. 전자는 사실상 점이나 마찬가지이므로 그 사이 공간은 대부분 비어있다고 생각할 수 있습니다. 말하자면 거의 진공이나 마찬가지일 듯합니다. 그러면 물질은 진공과 뭐가 다르고, 왜 빛이 물속에서는 진공에서와 똑같이 가지 못하고 느려질까요?
진공과 물질의 차이가 다른 데 있는 게 아닙니다. 빛이 진행할 때에는 언제나 일정한 빠르기 c를 지닙니다. 그러나 물이나 유리 등 물질에 들어가면 빛은 그 물질을 구성하고 있는 원자, 분자들과 끊임없이 상호작용합니다. 빛은 파동이지만 에너지의 관점에서는 에너지를 지닌 알갱이로서 빛알인데 원자나 분자들에 에너지를 주었다가 받았다가를 반복하고, 이 과정 때문에 전체적으로 느려지는 것입니다.
시간 늦춰짐과 쌍둥이 역설
이제 시간이 늦어지는 현상을 생각해 봅시다. 여러 가지로 생각할 수 있는데 지면에 있는 흔들이를 가지고 시간을 재기로 하겠습니다. 한번 갔다 오는 시간, 곧 주기를 재는 것입니다. 지면 S에서 흔들이가 시각
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를 만족합니다. S에서는 흔들이가 한번 갔다 제자리로 돌아오는 시간을 잰다고 했으니
으로 본래시간보다 길어집니다. 시간 간격이 늘어난다는 것은 시간이 천천히 간다는 이야기입니다. 바로 시간 늦춰짐 현상이지요.
이제 시간 늦춰짐을 알았으니 지난 시간에 얘기했던 '쌍둥이 역설'을 다시 생각해 보기로 하겠습니다. 지구에서 멀리 별까지 우주여행을 다녀오는 이야기지요. 갑순이와 을순이라는 쌍둥이가 있는데 갑순이는 지구에 남고 을순이는 우주선을 타고 갑니다. 우주선이 엄청나게 빨라서 빛 빠르기의 60%로 달린다고 하지요. 공상영화에는 빛보다 빠른 우주선도 나오지만, 사실 그것은 잘못된 것입니다. 빛보다 빠를 수는 없지요. 시간 관계로 다루지 않았지만 어떠한 물체도 빛보다 빠를 수는 없다는 것이 상대성이론의 결과 중 하나입니다.
어쨌든 지구와 별 사이의 거리가 15광년이라고 합시다. 빛이 1년 동안 가는 거리인 1광년은 거의 10조 km나 되지만 15광년이면 무지무지하게 가까운 별입니다. (실제로 지구에서 가장 가까운 별은 켄타우루스Centaurus 자리에서 가장 밝게 보이는 알파성인데 4.3광년 떨어져 있습니다.) 을순이가 15광년의 거리를 (3/5)c의 빠르기로 가니까 25년이 걸립니다. 왕복하니까 50년이 걸렸습니다. 꽃다운 20살에 헤어진 을순이를 다시 만날 때 갑순이는 안타깝게도 70살이 되었겠네요.
그런데 갑순이가 쌍둥이 동생 을순이를 보면 어떻게 보일까요? 시간 늦춰짐 때문에 50년이 지난 게 아니라 50년×(4/5) = 40년이 됩니다. (여기서
을순이가 자신을 보면 어떻게 될까요? 70살일까요, 60살일까요? 을순이는 우주선을 타고 움직이니까 을순이가 볼 때는 지구와 별이 움직이는 거고 따라서 그 사이 거리는15광년이 아닙니다. 갑순이처럼 지구에 서서볼 때 거리가 15광년이지 움직이면서 보면 지구와 별사이의 거리는 짧아집니다. 얼마가 될까요? 15광년×(4/5) = 12광년이 됩니다. 따라서 이때 걸린 시간은 12광년÷(3/5)c = 20년이 됩니다. 따라서 왕복하면 50년이 아니라 40년만 흘렀습니다. 그래서 을순이가 자신을 봐도 역시 60살입니다. 갑순이가 보나 스스로 보나 을순이는 60살입니다.
마지막으로 을순이가 언니를 보면 어떻게 될까요? 을순이가 갑순이를 보면 갑순이가 움직인 것이니까 시간이 느리게 갔을 겁니다. 자신에게는 40년이 흘렀으니 갑순이에게는 40년×(4/5) = 32년이 흘렀겠네요. 따라서 을순이가 보면 갑순이는 쉰두 살밖에 안 됐습니다. 여기서 문제가 생깁니다. 과연 갑순이는 나이가 얼마일까요? 스스로 보면 70살이고 을순이가 보면 52살인데 어느 게 맞을까요? 둘을 비교해 보면 18년이란 세월이 갑자기 없어져 버렸습니다. 어떻게 된 것일까요?
이것이 바로 쌍둥이 역설인데, 해답을 아니까 사실은 역설이 아니지요. 을순이와 다시 만났을 때 갑순이는 70살인 것이 맞습니다. 그러니 우주여행을 하고 돌아온 을순이가 10년 더 젊은 거지요. 곧 갑순이와 을순이는 동등하지 않은데, 이는 모든 관측자는 동등하다는 상대성원리에 반하는 것이 아닌가요?
갑순이와 달리 여행 중에 을순이는 기준틀을 바꾸었다는데 문제의 핵심이 있습니다. 우주선은 움직이는 기준틀 S'이고 지구나 별은 정지해 있는 기준틀 S인데 을순이는 별에 도착하는 순간 기준틀을 S'에서S로 바꾸었습니다. 지구로 돌아오기 위해 별을 떠나는 순간 다시 기준틀을 S에서 S'으로 바꾸었지요. 사실 이 과정에서 필연적으로 속도를 늦추거나 높여야 합니다. 따라서 가속도가 있게 되고, 서로 등속도로 운동하는 관측자에게 적용되는 상대성원리와 이에 따른 로렌츠 변환은 성립하지 않지요. 그러나 속도가 변하는 과정을 무시하고 기준틀을 순간적으로 바꾸었다고 생각하면 로렌츠 변환을 이용해서 살펴 볼 수 있습니다.
그러면 을순이가 기준틀을 바꿀 때 어떤 일이 일어날까요? 별에 도착할 때, 곧 기준틀을 S'에서 S로 바꾸는 순간 놀랍게도 지구에서는 9년이 순식간에 지나갑니다. 별과 지구는 같은 기준틀 S이지만 그 사이 떨어진 거리, 곧 공간의 차이가 시간의 차이를 가져다주기 때문입니다. 갑순이에게 9년이라는 세월이 을순이에게는 잠깐으로 나타나는 거죠. 을순이가 별을 떠나는 순간, 다시 기준틀을 S에서 S'으로 바꾸게 되는데 갑순이에게는 9년이 또 순식간에 지나갑니다. 합해서 '잃어버린' 18년이 되지요. 자세한 풀이는 로렌츠 변환에서 쉽게 얻을 수 있지만 여기서는 다루지 않겠습니다.
(매주 화, 목, 금 연재)
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